Exercice du mois

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Chaque mois il y a un bon cadeau d'une valeur de 30 frs. à gagner. En plus de la complétude de la solution, l'élégance de la preuve est également notée. En cas de plusieurs solutions de valeur comparable, le gagnant est tiré au sort. Pour avoir le droit de participer, il suffit de remplir les conditions de participation.

Vous pouvez envoyer les solutions en format texte, image, pdf ou LaTeX jusqu'à la fin du mois à Cet adresse mail est protégé contre les spambots. Vous avez d'activer le javascript pour la visualiser. .

Le mois dernier(Avril) les personnes suivantes ont envoyé une solution correcte :

Exercices a) et b) Smile
Exercice b)
Alain Rossier SIjing Huang
Stefan Nehls
Andreas Blatter
Jonathan Hacker
Arnaud Maret

 

 

 

 

Stefan Nehls a gagné le bon cadeau Smile.

 

 

Mai 2012

a) On découpe un carré en triangles aigus (TOUS les angles < 90°). Minimiser le nombre de triangles.

b) Soit $ABC$ un triangle et $M$ un point sur son cercle circonscrit. Montrer l'inégalité suivante:

$\dfrac{MA}{BC} +\dfrac{MB}{CA} +\dfrac{MC}{AB} \ge 2$.

 

Avril 2012

a) Déterminer le plus grand nombre naturel avec la propriété suivante:
le nombre est divisible par chacun de ses chiffres et tous les chiffres de ce nombre sont distincts.

b) Montrer que pour tout nombre naturel $n$, le nombre  $(2^n+4^n)^2 + 4(6^n+9^n+12^n)$ a au moins 9 diviseurs positifs.

 

 

Mars 2012

 

a) Un carré 3x3 est rempli avec des nombres comme ci-dessous:
1 8 4
6 3 9
5 7 2
On a le droit de parcourir les cases du carré et d'aligner les nombres des cases visités. On peut aller d'une case à une autre si elles ont un côté en commun. Peter fait le parcours montré dans l'image et obtient le nombre 84937561.

Quel est le plus grand nombre que l'on peut obtenir avec ce carré?

b) Montrer qu'il y existe une infinité de nombres $n$ tels que $n$ est somme de deux carrés

mais $n-1$ et $n+1$ ne sont pas somme de deux carrés.

Fevrier 2012

a) Ecrire les nombres de 15 à 23 dans les cases d'une grille $3\times 3$ de sorte que toutes les sommes de deux nombres de cases adjacentes (qui ont un côté en commun)  sont distinctes.

b) Des nombres positifs $a,b$ et $c$ satisfont l'inéquation $\frac{3}{abc}\ge a+b+c$. Montrer que
\[
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{
1}{c}\ge a+b+c 
\]

 

 

Janvier 2012

a) Trouver tous les nombres entiers $x,y$ tels que $20x^2+12y^2=2012$.

b) On considère 7 verres d'eau. Le premier est rempli à moitié, le deuxième est rempli à $\dfrac{1}{3}$, le troisième à $\dfrac{1}{4}$, le quatrième à $\dfrac{1}{5}$, le cinquième à $\dfrac{1}{8}$, le sixième à $\dfrac{1}{9}$ et le septième à $\dfrac{1}{10}$.

On a le droit de verser le tout contenu d'un verre dans un autre (si c'est possible) ou alors de verser jusqu'à ce que l'autre est plein.
Est-il possible d'obtenir un verre qui est

1) rempli à $\dfrac{1}{12}$, 2) rempli à $\dfrac{1}{6}$?

 

 

Décembre 2011

Un roi se trouve sur un tablier 8x8 d'un échiquier. Le roi joue un coup chaque jour. Le dimanche, il se déplace le long de la diagonale, les autres jours de la semaine, il se déplace le long de l'un des côtés de l'échiquier. Le roi ne peut pas visiter une case qu'il a déjà visitée. La case de départ compte comme case visitée.

Quel est le nombre maximal de cases que le roi peut visiter?

 

 

Novembre 2011

a) Nous disons d'un rectangle qu'il est beau, si les longueurs de tous les côtés sont des nombres naturels et que l'aire est égale à la circonférence du rectengle. Trouver tous les rectangles qui sont beau.

b) Nous appelons un parallélépipède rectangle beau si les longueurs de tous les côtés sont des nombres naturels et le volume est égale à la surface du parallélépipède. Trouver tous les parallélépipèdes rectangles qui sont beau.

 

Octobre 2011

Un pays est divisé en 9 districts dans lesquels se trouvent un total de 5 villes et 19 villages. Chaque ville est reliée par une ligne de bus à au moins 14 autres localités et chaque village est reliée à au plus 3 localités. Montrer qu'il y a un district dans lequel aucune localité est directement reliée à une autre par une ligne de bus.

Septembre 2011

Ariana et Berta jouent au jeu suivant:

Il y a 22 cartes, numérotées de 1 à 22. Ariana commence, elle choisit une carte et la pose sur la table. Berta pose une des cartes restantes à droite de la carte d'Ariana, de telle sorte que la somme des deux nombres sur la carte est un carré. Ariana pose une des cartes restantes à droite, de sorte que la somme des deux derniers nombres posés est à nouveau un carré et ainsi de suite.

Le jeu se termine quand toutes les cartes sont posées ou quand il n'est plus possible de poser une carte sur la table. La personne qui a posée une carte en dernière gagne alors la partie.

Existe-t-il une stratégie gagnante pour Ariana?