Monatsaufgabe

Zu gewinnen gibt es einen Büchergutschein über 30.- Fr. Neben der Vollständigkeit der Lösung wird auch die Eleganz bewertet. Bei mehreren gleichwertigen Lösungen entscheidet das Los über den Gewinner. Mitmachen können alle, die die SMO-Teilnahmebedingungen erfüllen.

Lösungen können als Text-, Bild-, LaTeX- oder pdf-Datei bis Ende Monat eingesendet werden an This e-mail address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it. .

Im letzten Monat (Februar) haben folgende Leute eine richtige Lösung eingeschickt:

Teilaufgaben a) und b)  Smile
Teilaufgabe a)
Stefanie Zbinden
Laura Herrero
Fabian Jin
Peter Boyland
Michelle Sweering

Gerold Schefer
Andreas Säuberli
Sijing Huang

 

 

 

 

 

Michelle Sweering hat den Büchergutschein gewonnen.


März 2014

a) Man ersetze im Wort MATEMATICA die Buchstaben durch Ziffern und Plus- oder Minuszeichen so, dass der Wert des entstehenden Terms 2014 beträgt.

Gleiche Buchstaben müssen durch gleiche Ziffern oder Zeichen ersetzt werden,
verschiedene Buchstaben müssen durch verschiedene Ziffern oder Zeichen ersetzt werden.

b) Wir nennen eine 10-stellige Zahl interessant, wenn alle ihre Ziffern verschieden sind und diese Zahl durch 11111 teilbar ist. Wie viele interessante Zahlen gibt es?


Februar 2014

a) $a$ und $b$ sind natürliche Zahlen. Von den folgenden 4 Aussagen

  • $a+1$ ist durch $b$ teilbar
  • $a=2b+5$
  • $a+b$ ist durch 3 teilbar
  • $a+7b$ ist eine Primzahl

sind drei richtig und eine falsch. Man bestimme alle mögliche Werte für $a$ und $b$.

b) Man beweise, dass jede natürliche Zahl $n$ in der Form $a^2+b^2-c^2$ mit natürlichen $a<b<c$ dargestellt werden kann.


Januar 2014

a) Man setze die Zahlen $1, 2, 3, \ldots, 50$ so in die Eckpunkten und die Seitenmittelpunkte eines regelmässigen 25-Ecks, dass die Summen der drei Zahlen auf einer Seite (2 Ecken und Mitte) für alle Seiten gleich ist.

b) Die neue Schachfigur Mammut greift an wie ein Läufer, aber nur in 3 Richtungen von 4 möglichen. Die fehlende Richtung kann für verschiedene Mammute verschieden sein.

Stelle so viele Mammute wie möglich auf einem $8\times 8$ Schachbrett so auf, dass sie sich gegenseitig nicht angreifen.


Dezember 2013

a) Der Direktor der Nationalbank möchte 12 Geldscheine drucken, wobei jeder Geldschein  eine natürliche Zahl Franken wert ist. Mit Hilfe von höchstens 8 dieser Geldscheine soll  jede Summe von 1 Fr. bis 6543 Fr. genau ausgezahlt werden können.

Wird es ihm gelingen? (Bei der Auszahlung darf man einige Scheine mit demselben Wert verwenden).

 

b) Wir nennen eine $n$-Anordnung der Zahlen $1,1,2,2,3,3, \ldots, n,n$ gut, wenn für alle $j$ mit $1\le j\le n$ gilt: zwischen zwei Zahlen mit dem Wert $j$ müssen genau $j$ Zahlen stehen.

Zum Beispiel für $n=4$ ist $(4, 1, 3, 1, 2, 4, 3, 2)$ eine gute $4$-Anordnung.

Ist es möglich a) eine gute $2012$-Anordnung, b) eine gute $2013$-Anordnung zu finden?


November 2013

a) Gesucht sind vier verschiedene natürliche Zahlen $a$, $b$, $c$ und $d$ mit der Eigenschaft, dass jede der vier Summen $a+b+c$, $a+b+d$, $a+c+d$ und $b+c+d$ eine Quadratzahl ist.

Man zeige dann, dass es unendlich viele solche 4-Tupel $(a,b,c,d)$ gibt.

b) Kann man eine der Zahlen $1,2,\dots, 12, 13$ entfernen und mit den restlichen Zahlen die Kanten eines Würfels so durchnummerieren, dass die Summen der Zahlen auf den von einer Ecke ausgehenden Kanten immer gleich sind?

Gesucht sind alle Möglichkeiten.


Oktober 2013

a) Papa Karlo hat 130 Brettchen. Aus 5 Brettchen kann er eine Windmühle bauen, aus 7 Brettchen kann er ein Schiff basteln, aus 14 Brettchen kann er ein Flugzeug bauen.

Ein Flugzeug bringt 19 Goldstücke ein, ein Schiff kann Karlo für 8 Goldstücke verkaufen und eine Windmühle verkauft er für 6 Goldstücke.

Welches ist die maximale Anzahl  Goldstücke, die  Papa Karlo verdienen kann?

b) Man finde alle Primzahlen $p_1, p_2, \dots, p_6$, für die $p_1^2 = p_2^2+p_3^2+p_4^2+p_5^2+p_6^2$ gilt.


September 2013

a) Die symmetrische Differenz $\Delta$ zweier Mengen ist die Menge, die aus Elementen genau einer der beiden Mengen besteht. Zum Beispiel
\[
\{1,2, 3 \} \Delta \{2, 3, 4 \} =\{1, 4\}
\]
Man betrachte die Menge $M=\{1, 2,3, 4 \}$. Es gibt genau 15 nicht leere Teilmengen der Menge $M$. Ordne jede Teilmenge zu genau einem Feld in der Tabelle unten so, dass

  1. Wenn $A$ und $B$ mit einer durchgezogenen Linie verbunden sind, dann hat $A\Delta B$ genau ein Element.
  2. Wenn $A$ und $B$ mit einer gestrichelten Linie verbunden sind, dann haben $A$ und $B$ dasselbe grössten Element.

b) Man bestimme alle Quadrupel $(a,b,c,d)$ von natürlichen Zahlen, für die folgende Gleichung gilt:
\[
\left(1+\frac{1}{a} \right)\left(1+\frac{1}{b} \right)\left(1+\frac{1}{c} \right)\left(1+\frac{1}{d} \right) = 5
\]


Juli-August 2013

Fülle eine $4\times 4$ Tabelle mit natürlichen Zahlen so aus, dass

  1. Die Produkte der Zahlen in einer Zeile für alle Zeilen gleich sind.
  2. Die Produkte der Zahlen in einer Spalte für alle Spalten gleich sind.
  3. Alle Zahlen verschieden sind.
  4. Alle Zahlen kleiner als 100 sind.

Juni 2013

a) Aus den sechzehn Ziffern $2,2,3,3,\dots, 9,9$ sind zwei 8-stellige Zahlen $a$ und $b$ zu bilden, sodass $|\,a-2b\,|$ möglichst klein ist.

b) Man beweise:
Man kann nicht fünf $1\times 1$ Quadrate in ein Quadrat $(1+\sqrt{2})\times(1+\sqrt{2}) $ überlappungsfrei legen.

Man kann aber fünf $1\times 1$ Quadrate in ein Quadrat $\left(2+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\times\left(2+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ überlappungsfrei legen.


Mai 2013

a) Man bestimme alle disjunkte Mengen $B$ und $C$ für die gilt:

1) $B\cup C = \{\, 1, 2, \dots, 10\, \}$ und

2) Die Summe aller Elementen von $B$ ist gleich dem Produkt aller Elementen von $C$.

b) Der Term
\[
\pm 1 \pm 2 \pm 3 \pm \dots \pm (4n+1)
\]
ist gegeben. Man darf eine geeignete Auswahl der Vorzeichen $+$ oder $-$ bei jedem Summand treffen.
Welche positive Zahlen können als Ergebnis erreicht werden?

 


April 2013

 


a) Wir haben eine Einmaleins Tabelle mit der Grösse 10 × 10, d.h die Zeilen und die Spalten sind jeweils von 1 bis 10 durchnummeriert und in jedem Feld der Tabelle steht das Produkt der Nummern der Zeile und der Spalte. Eine Reisende steht in der oberen linken Ecke. Sie will die untere rechte Ecke erreichen. Sie darf nur rechts oder abwärts gehen. Reisendezahl ist das Produkt aller Zellen, die die Resende auf ihrem Weg besucht hat (die erste und die letzte Zahl inclusive).


Wie gross ist der ggT aller möglichen Reisendenzahlen?

b) Man bestimme alle natürlichen Zahlen $a$, $b$, $c$ für die $(2^a − 1)(3^b − 1) = c!$ gilt.


 

März 2013


a)  Ein Würfel und 27 Punkte -- seine Ecken, die Mittelpunkte der Kanten, die Mittelpunkte der Flächen und der Mittelpunkt des Würfel sind gegeben. Wie viele Geraden gehen durch genau 3 von diesen 27 Punkte?

b) Es sei $ABC$ ein rechtwinkliges Dreieck mit $\angle A = 90$°. Es sei $D$ ein Punkt auf der Seite $BC$ und $E$ ist sein Spiegelbild bezüglich der Seite $AB$. Wir bezeichnen die Schnittpunkte der Geraden $AB$ mit Geraden $DE$ und $CE$ als $F$ und $G$. Es sei weiter $H$ die Projektion von $G$ auf $BC$ und $I$ der Schnittpunkt von $HF$ und $CE$.

Man beweise, dass $G$ der Mittelpunkt des Inkreises des $\Delta AHI$ ist.

 


 

Februar 2013

a) Wenn wir die Zahlen $1, 2, \dots, n$ in irgendeiner Reihenfolge aufschreiben, bekommen wir eine $n$-Kette. Zum Beispiel eine der 11-Ketten wäre
\[ 3764581121910
\]
Für welche kleinste Zahl $n>1$ gibt es eine $n$-Kette, die ein Palindrom ist? (Ein Palindrom ist eine Zahl die von links nach rechts und von rechts nach links gelesen gleich ist, z.B. 45354).

b) Die Zahlenfolge $\{x_n\}$ ist definiert durch $x_1=1$, $x_2=3$ und $x_{n+1} = 6x_n-x_{n-1}$ für alle $n\ge 1$.

Man beweise, dass $x_n+(-1)^n$ für alle $n\ge 1$ eine Quadratzahl  ist.


Januar 2013

a) Für wie viele natürliche Zahlen gilt $1\le a\le 2013$ und $a^a$ ist eine Quadratzahl?

b) Man bestimme alle ganzen Zahlen, die als $a^3+b^3+c^3-3abc$ für irgendwelche natürlichen Zahlen $a,b,c$ dargestellt werden können.

 


 

Dezember 2012

XMas Rätsel:
Im Kryptarithm (gleiche Buchstaben = gleiche Ziffern)
A MERRY XMAS TO ALL
stellt jedes Wort eine Quadratzahl dar.
Entziffern Sie dieses, wenn die Quersummen aller Zahlen auch Quadratzahlen sind.

 


 

a) Die Zahlen 1,2,...,9 sind zufälig auf einem Kreis gesetzt.
Man beweise, dass es drei Nachbarzahlen mit der Summe von mindestens 16 gibt.

b) Bestimme die kleinste Anzahl der Quadrate mit ganzzahligen Seitenlängen, in die man ein 11×13 Rechteck zerschneiden kann.
Begrüde warum deine Lösung die kleinste ist.

 


 

November 2012

 

a) Ein Dreieck mit Höhenlängen 3, 4 und 6 ist gegeben. Man bestimme seinen Umfang.

b) Ein Käfer sitzt in einer Ecke eines Würfels. Jeden Tag kriecht er zu einer der benachbarten Ecken des Würfels.


Wie viele 6 Tage Reisen enden in der gleichen Ecke, wo die Reise angefangen hat?


Oktober 2012

a) Man bestimme die grösste natürliche Zahl $n$ so, dass $7^{2048}-1$ durch $2^n$ teilbar ist.

b) Ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge $n$ ist in $n^2$ gleichseitige Dreiecke mit der Seitenlänge 1 unterteilt.


Man bestimme alle $n$, für die wir die Strecken so schwarz und weiss färben können, dass in jeder Ecke gleich viele schwarze und weisse Strecken zusammen kommen.

 


 

September 2012

a) Die Summe von vier dreistelligen Zahlen beträgt 2012.

Für ihre Darstellung im Dezimalsystem hat man nur zwei verschiedene Ziffern gebraucht.

  1. Gib ein Beispiel solcher Zahlen.
  2. Bestimme alle Möglichkeiten.


b)  In einem Tetraeder sind die Summen der Längen der gegenüberliegenden Kanten gleich.

Man beweise, dass die Inkreise der Seitenflächen sich paarweise berühren.

 


 

 

Juli-August 2012

Man bestimme

a) mindestens  3 verschiedene

b) alle natürlichen Zahlen $n$

für die die Anzahl Diagonalen in einem regelmässigen $n$-Eck eine Quadratzahl ist.

 


 

Juni 2012

a) In einem gewöhnlichen $8\times 8$ Schachbrett gibt es viele Rechtecke und Quadrate, die nur aus ganzen Schachfeldern zusammengesetzt sind. Vom $1\times 1$ Quadrat bis zum $8\times 8$ Quadrat.Wie gross ist die Summe ihrer Flächeninhalte?

b) Ein Postbote bringt Post zu 19 Häusern auf einer Seite der Strasse. Er merkt, dass keine zwei benachbarten Häuser am selben Tag Post bekommen. Er merkt auch, dass es nie mehr als zwei benachbarte Häuser gibt, die am gleichen Tag kein Post  kriegen. 
Wie viele verschiedene Muster für das Austragen der Post sind unter diesen Bedingungen möglich?


Mai 2012

a) Zerschneide ein Quadrat in spitzwinklige (ALLE Winkel < 90°)  Dreiecke. Minimiere die Anzahl  dieser Dreiecke.

b) Sei $ABC$ ein Dreieck und $M$ ein Punkt auf dessen Umkreis. Zeige folgende Ungleichung:
$\dfrac{MA}{BC} +\dfrac{MB}{CA} +\dfrac{MC}{AB} \ge 2$.

 


 

April 2012


a) Bestimme die grösste natürliche Zahl mit folgender Eigenschaft:
diese Zahl ist durch jede ihrer Ziffern teilbar und alle Ziffern dieser Zahl sind verschieden.

b) Man beweise, dass für jede natürliche Zahl $n$ die Zahl $(2^n+4^n)^2 + 4(6^n+9^n+12^n)$
mindestens 9 positive Teiler hat.


März 2012

a) Ein 3x3 Quadrat ist wie unten abgebildet mit Ziffern gefüllt:
1 8 4
6 3 9
5 7 2
Man darf die Felder des Quadrates besuchen und die Ziffern, die in den Feldern stehen, zu einer Zahl zusammenfassen.
Man darf von einem Feld zum nächsten gehen, wenn die beiden Felder eine gemeinsame Seite haben. Peter läuft wie im Bild unten und bekommt die Zahl 84937561.



Welche ist die grösste Zahl, die man auf diese Art in diesem Quadrat erreichen kann?

b) Beweise, dass es unendlich viele natürliche Zahlen $n$ gibt so, dass $n$ als Summe zweier Quadratzahlen darstellbar ist, aber $n-1$ und $n+1$ nicht als Summe zweier Quadratzahlen darstellbar sind.

 


Februar 2012

 

a) In die Zellen einer 3×3 Tabelle sind die natürlichen Zahlen von 15 bis und mit 23 so einzuschreiben, dass alle paarweisen Summen von Zahlen in benachbarten Zellen(gemeinsame Seite) verschieden sind.

b) Positive Zahlen $a,b$ und $c$ erfüllen die Ungleichung $\frac{3}{abc}\ge a+b+c$. Man beweise die Ungleichung
\[
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge a+b+c
\]

 


Januar 2012

 

a) Man bestimme alle ganzzahligen Lösungen der Gleichung $20x^2+12y^2=2012$

b) Man hat 7 Gläser Wasser. Das erste ist halbvoll, das zweite ist $\dfrac{1}{3}$-voll,  das dritte ist $\dfrac{1}{4}$-voll, das vierte ist $\dfrac{1}{5}$-voll,  das fünfte ist $\dfrac{1}{8}$-voll,  das sechste ist $\dfrac{1}{9}$-voll und das siebte ist $\dfrac{1}{10}$-voll.

Man darf das ganze Wasser aus einem Glas in ein anderes leeren oder so umleeren, dass ein Glas voll wird.
Kann man irgendein Glas

1) $\dfrac{1}{12}$-voll,  2) $\dfrac{1}{6}$-voll

kriegen?


Dezember 2011

 

Auf irgendeinem Feld eines 8x8 Schachbretts steht ein König. Der König macht jeden Tag einen Zug. Am Sonntag zieht er einer Diagonalen entlang, an allen anderen Wochentagen zieht er einer der beiden Seiten entlang. Der König darf kein Feld besuchen, das er vorher schon besucht hat. Das Startfeld betrachten wir als besuchtes Feld.

Welches ist die maximale Anzahl Felder, die der König besuchen kann?

 



November 2011

 

a) Wir nennen ein Rechteck schön, wenn die Längen der Seiten natürliche Zahlen sind und die Masszahlen für die Fläche und den Umfang des Rechtecks übereinstimmen. Man bestimme alle schönen Rechtecke.

b)  Wir nennen einen Quader schön, wenn die Längen der Seiten natürliche Zahlen sind und die Masszahlen für das Volumen und die Oberfläche des Quaders übereinstimmen. Man bestimme alle schönen Quader.

 


Oktober 2011

Ein Land mit 5 Städten und 19 Dörfern ist in 9 Bezirke aufgeteilt. Jede Stadt ist mit einer Buslinie mit mindestens 14 anderen Wohnorten verbunden, jedes Dorf mit höchstens 3 anderen Wohnorten.
Man beweise, dass es in einem Bezirk zwischen zwei beliebigen Wohnorten keine direkte Buslinie gibt.

Lösung:

Aus jeder Wohnort gehen mindestens 14 Buslinien aus, also mindestens 10 Buslinien verbinden diesen Wohnort mit Dörfern. Das heisst, dass es mindestens 50 Buslinien gibt, die die Städte mit Dörfern verbinden. Andererseits aus allen Dörfern gehen höchstens $19\cdot 3 = 57$ Buslinien.

Daraus folgt, dass es höchstens $(57-50)/2$ Buslinien gibt, die Dörfer untereinander verbinden. Also gibt es höchstens 3 Buslinien, die Dörfer verbinden.

Wir betrachten die Bezirke ohne Städte, davon gibt es mindestens $4=9-5$. In diesen Bezirken gibt es nur Dörfer und höchstens 3 Buslinien, die Dörfer verbinden. Also mindestens in einem Bezirk gibt es gar keine Buslinie. Diesen Bezirk haben wir gesucht.


 

 

September 2011

Ariana und Berta spielen folgendes Spiel:

Es gibt 22 Karten von 1 bis und mit 22 durchnummeriert. Ariana wählt eine Karte und legt sie auf den Tisch. Berta legt eine der übrigen Karten rechts von Ariana's Karte auf den Tisch so, dass die Summe der Zahlen auf den zwei Karten eine Quadratzahl ist. Ariana legt eine der übrigen Karten rechts von der letzten Karte so, dass die Summe der letzten zwei Zahlen eine Quadratzahl ist und so weiter.

Das Spiel ist zu Ende, wenn alle Karten gespielt sind oder keine weitere Karte auf den Tisch gelegt werden kann. Die Gewinnerin ist diejenige, die die letzte Karte gespielt hat.

Gibt es für Ariana eine Gewinnstrategie? $\$ $