Monatsaufgabe

Zu gewinnen gibt es einen Büchergutschein über 30.- Fr. Neben der Vollständigkeit der Lösung wird auch die Eleganz bewertet. Bei mehreren gleichwertigen Lösungen entscheidet das Los über den Gewinner. Mitmachen können alle, die die SMO-Teilnahmebedingungen erfüllen.

Lösungen können als Text-, Bild-, LaTeX- oder pdf-Datei bis Ende Monat eingesendet werden an This e-mail address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it. .

Im letzten Monat (September) haben folgende Leute eine richtige Lösung eingeschickt:

Teilaufgaben a) und b)  Smile
Teilaufgabe a)
Fabian Jin
David Mizrahi

Teilaufgabe b)

Sijing Huang



 

 

 

 

 

Fabian Jin hat den Büchergutschein gewonnen.

 


 

Oktober 2014

a) Es sei $M=\{1, 2, 4, 5, 7, 8, \ldots \}$ die Menge der natürlichen Zahlen, die nicht durch 3 teilbar sind. Die Summe von $2n$ aufeinander folgenden Elementen der Menge $M$ beträgt 300.

Man bestimme alle möglichen Werte für $n$.

b) 10 Zahlen werden zufällig aus der Menge $1, 2, 3, \ldots, 36, 37$ gewählt. Man zeige, dass man vier verschiedene Zahlen aus diesen zehn so wählen kann, dass die Teilsummen von 2 Zahlenpaaren gleich sind.


September 2014

a) Wenn man ein Blatt Papier um 180° dreht, sehen die Ziffern 0, 1 und 8 gleich aus,

6 und 9 gehen in einander über und die restlichen Ziffern machen keinen Sinn.

Wie viele 9-stellige Zahlen gibt es, die beim Umdrehen des Blatts  gleich aussehen?

b) Auf den Seiten $AD$ und $CD$ eines Parallelogramms $ABCD$ mit dem Mittelpunkt $O$
sind die Punkte $P\in AD$ und $Q\in CD$ so gewählt, dass $\angle AOP = \angle COQ = \angle ABC$.

Man beweise:
1. $\angle ABP = \angle CBQ$
2. Die Geraden $AQ$ und $CP$ schneiden sich auf dem Umkreis des Dreiecks $\Delta ABC$.

 


 

Juli-August 2014

Ein $7\times 7$ Brett mit 4 herausgeschnittenen Eckfeldern ist gegeben.
a) Welches ist die minimale Anzahl Felder, die man blau färben muss, damit jedes Schweizer Kreuz (eine Figur aus 5 Feldern in Form eines Kreuzes) mindestens eins der bemalten Felder deckt?

b) Man zeige, dass in jedes Feld eine ganze Zahl geschrieben werden kann so, dass die Summe der Zahlen in jedem Schweizer Kreuz negativ ist und die Summe aller Zahlen auf dem Brett positiv ist.


Juni 2014

a) Man bestimme die Anzahl der Teilmengen der Menge $\{1, 2, \dots, 2n\}$, in denen die Gleichung $x+y=2n+1$ keine Lösung hat.

b) Ein regelmässiges $4n$-Eck $A_1A_2\dots A_{4n-1}A_{4n}$ mit $n>1$ und der Fläche $S$ ist gegeben.
Man bestimme die Fläche des Vierecks $A_1A_nA_{n+1}A_{n+2}$

 


 

Mai 2014

a) Vier Punkte liegen nicht in einer Ebene. Eine Ebene E heisst kommunistisch, wenn alle diese vier Punkte den gleichen Abstand zur Ebene E haben.
Wie viele  kommunistischen Ebene gibt es?

 

b) Die Zahlen von 1 bis und mit 24 stehen an der Tafel. Man kann die Zahlen $(a,b,c)$ durch die Zahlen
\[
\frac{2b+2c-a}{3}, \quad  \frac{2c+2a-b}{3}, \quad\frac{2a+2b-c}{3} \text{ ersetzen.}
\]
Kann irgendwann eine Zahl grösser als 70 an der Tafel erscheinen?