Monatsaufgabe

Zu gewinnen gibt es einen Büchergutschein über 30.- Fr. Neben der Vollständigkeit der Lösung wird auch die Eleganz bewertet. Bei mehreren gleichwertigen Lösungen entscheidet das Los über den Gewinner. Mitmachen können alle, die die SMO-Teilnahmebedingungen erfüllen.

Lösungen können als Text-, Bild-, LaTeX- oder pdf-Datei bis Ende Monat eingesendet werden an This e-mail address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it. .

Im letzten Monat(Januar) haben folgende Leute eine richtige Lösung eingeschickt:

Kajo Krummenacher
Andreas Blatter
Abhigyan Ghosh

Timothy Novotny

Jonathan Hacker

Stefan Nehls
Tobias Löw
Unvollständige aber fast richtige Lösungen:
Max Liechti
Milos Radosavljevic
Arnaud Maret
Maurice Ottiger
Sijing Huang

Tobias Löw hat den Büchergutschein gewonnen .

Februar 2012

a) In die Zellen einer 3×3 Tabelle sind die natürlichen Zahlen von 15 bis und mit 23 so einzuschreiben, dass alle paarweisen Summen von Zahlen in benachbarten Zellen(gemeinsame Seite) verschieden sind.

b) Positive Zahlen $a,b$ und $c$ erfüllen die Ungleichung $\frac{3}{abc}\ge a+b+c$. Man beweise die Ungleichung
\[
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge a+b+c
\]

 

Januar 2012

 

a) Man bestimme alle ganzzahligen Lösungen der Gleichung $20x^2+12y^2=2012$

b) Man hat 7 Gläser Wasser. Das erste ist halbvoll, das zweite ist $\dfrac{1}{3}$-voll,  das dritte ist $\dfrac{1}{4}$-voll, das vierte ist $\dfrac{1}{5}$-voll,  das fünfte ist $\dfrac{1}{8}$-voll,  das sechste ist $\dfrac{1}{9}$-voll und das siebte ist $\dfrac{1}{10}$-voll.

Man darf das ganze Wasser aus einem Glas in ein anderes leeren oder so umleeren, dass ein Glas voll wird.
Kann man irgendein Glas

1) $\dfrac{1}{12}$-voll,  2) $\dfrac{1}{6}$-voll

kriegen?

Dezember 2011

 

Welches ist die maximale Anzahl Felder, die der König besuchen kann?

 

 

a) Wir nennen ein Rechteck schön, wenn die Längen der Seiten natürliche Zahlen sind und die Masszahlen für die Fläche und den Umfang des Rechtecks übereinstimmen. Man bestimme alle schönen Rechtecke.

b)  Wir nennen einen Quader schön, wenn die Längen der Seiten natürliche Zahlen sind und die Masszahlen für das Volumen und die Oberfläche des Quaders übereinstimmen. Man bestimme alle schönen Quader.

 

Oktober 2011

Ein Land mit 5 Städten und 19 Dörfern ist in 9 Bezirke aufgeteilt. Jede Stadt ist mit einer Buslinie mit mindestens 14 anderen Wohnorten verbunden, jedes Dorf mit höchstens 3 anderen Wohnorten.
Man beweise, dass es in einem Bezirk zwischen zwei beliebigen Wohnorten keine direkte Buslinie gibt.

Lösung:

Aus jeder Wohnort gehen mindestens 14 Buslinien aus, also mindestens 10 Buslinien verbinden diesen Wohnort mit Dörfern. Das heisst, dass es mindestens 50 Buslinien gibt, die die Städte mit Dörfern verbinden. Andererseits aus allen Dörfern gehen höchstens $19\cdot 3 = 57$ Buslinien.

Daraus folgt, dass es höchstens $(57-50)/2$ Buslinien gibt, die Dörfer untereinander verbinden. Also gibt es höchstens 3 Buslinien, die Dörfer verbinden.

Wir betrachten die Bezirke ohne Städte, davon gibt es mindestens $4=9-5$. In diesen Bezirken gibt es nur Dörfer und höchstens 3 Buslinien, die Dörfer verbinden. Also mindestens in einem Bezirk gibt es gar keine Buslinie. Diesen Bezirk haben wir gesucht.

 

 

September 2011

Ariana und Berta spielen folgendes Spiel:

Es gibt 22 Karten von 1 bis und mit 22 durchnummeriert. Ariana wählt eine Karte und legt sie auf den Tisch. Berta legt eine der übrigen Karten rechts von Ariana's Karte auf den Tisch so, dass die Summe der Zahlen auf den zwei Karten eine Quadratzahl ist. Ariana legt eine der übrigen Karten rechts von der letzten Karte so, dass die Summe der letzten zwei Zahlen eine Quadratzahl ist und so weiter.

Das Spiel ist zu Ende, wenn alle Karten gespielt sind oder keine weitere Karte auf den Tisch gelegt werden kann. Die Gewinnerin ist diejenige, die die letzte Karte gespielt hat.

Gibt es für Ariana eine Gewinnstrategie? $\$ $

 

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