Monatsaufgabe

Zu gewinnen gibt es einen Büchergutschein über 30.- Fr. Neben der Vollständigkeit der Lösung wird auch die Eleganz bewertet. Bei mehreren gleichwertigen Lösungen entscheidet das Los über den Gewinner. Mitmachen können alle, die die SMO-Teilnahmebedingungen erfüllen.

Lösungen können als Text-, Bild-, LaTeX- oder pdf-Datei bis Ende Monat eingesendet werden an This e-mail address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it. .

Im letzten Monat (Februar) haben folgende Leute eine richtige Lösung eingeschickt:

Teilaufgaben a) und b)  Smile
Teilaufgabe a und b
Bibin Muttappillil

 

 

Bibin Muttappillil hat den Büchergutschein gewonnen.


März 2015
a) Man hat viele gleiche runde Münzen. Kann man auf der Ebene
1) 24 Münzen
2) 25 Münzen
so legen, dass jede Münze genau drei andere Münzen berührt?

b) Ein Dreieck $ABC$ und sein Umkreis sind gegeben. Auf den Umkreisbögen $AB$ und $BC$ sind die Punkte $K$ bzw. $L$ so gewählt, dass die Geraden $KL$ and $AC$ parallel sind.

Man beweise, dass die Mittelpunkte der Inkreise der beiden Dreiecken $ABK$ und $CBL$ gleich weit vom Mittelpunkt des Umkreisbogens $ABC$ entfernt sind.


Februar 2015

Stimmen die folgenden Aussagen?
a)
1. Aus 5 beliebigen verschiedenen Zahlen kann man drei so auswählen, dass sie entweder in absteigender oder in aufsteigender Reihenfolge stehen.

2. Aus 9 beliebigen verschiedenen Zahlen kann man vier so auswählen, dass sie entweder in absteigender oder in aufsteigender Reihenfolge stehen.


b) Eine natürliche mindestens zehnstellige Zahl enthält nur zwei verschiedene Ziffer in ihre Darstellung. Gleiche Ziffer stehen nicht nebeneinander.

Welche ist die grösste Potenz von 2, die diese Zahl teilen kann?


Januar 2015

a) Ein $5\times 5$ Quadrat ist in 25 gleiche $1\times 1$ Felder aufgeteilt.
In einigen Feldern zeichnet man eine Diagonale so,
dass keine zwei Diagonalen einen gemeinsamen Punkt haben (auch nicht Endpunkt).

Welches ist die maximale Anzahl Diagonalen, die man so zeichnen kann?

b) Es seien $a$, $b$ und $c$ die Seitenlängen eines Dreiecks und
$m_a$, $m_b$ und $m_c$ die Längen der Seitenhalbierenden zu den Seiten $a$, $b$ und $c$.
Es sei weiter $D$ der Durchmesser des Umkreises.

Man beweise
\[
\frac{a^2+b^2}{m_c} +\frac{b^2+c^2}{m_a} +\frac{c^2+a^2}{m_b} \le 6D
\]


Dezember 2014

a) Wie viele Teilmengen der Menge $\{1, 2, 3, 4, \ldots, 10, 11\}$ enthalten keine zwei aufeinander folgenden Zahlen?

b) 16 Türme stehen auf einem $8\times 8$ Schachbrett. Welches ist die minimale Anzahl Paare sich angreifender Türme?


November 2014

a) Peter färbt die Zahlen

  1. $1, 2, 3, \dots, 8$
  2. $1, 2, 3, \dots, 8, 9$

mit zwei Farben rot und blau.

Gibt es immer drei solche gleichfarbige Zahlen,  dass eine das arithmetische Mittel der beiden anderen ist?

b) Auf einem Schachbrett stehen 8 Türme, die sich gegenseitig nicht angreifen. Man zeige, dass es unter den paarweisen Abständen zwischen den Türmen zwei gleiche gibt. (Der Abstand zwischen den Türmen ist der Abstand zwischen den Mittelpunkten der Felder, auf denen die Türme stehen).


Oktober 2014

a) Es sei $M=\{1, 2, 4, 5, 7, 8, \ldots \}$ die Menge der natürlichen Zahlen, die nicht durch 3 teilbar sind. Die Summe von $2n$ aufeinander folgenden Elementen der Menge $M$ beträgt 300.

Man bestimme alle möglichen Werte für $n$.

b) 10 Zahlen werden zufällig aus der Menge $1, 2, 3, \ldots, 36, 37$ gewählt. Man zeige, dass man vier verschiedene Zahlen aus diesen zehn so wählen kann, dass die Teilsummen von 2 Zahlenpaaren gleich sind.


September 2014

a) Wenn man ein Blatt Papier um 180° dreht, sehen die Ziffern 0, 1 und 8 gleich aus,

6 und 9 gehen in einander über und die restlichen Ziffern machen keinen Sinn.

Wie viele 9-stellige Zahlen gibt es, die beim Umdrehen des Blatts  gleich aussehen?

b) Auf den Seiten $AD$ und $CD$ eines Parallelogramms $ABCD$ mit dem Mittelpunkt $O$
sind die Punkte $P\in AD$ und $Q\in CD$ so gewählt, dass $\angle AOP = \angle COQ = \angle ABC$.

Man beweise:
1. $\angle ABP = \angle CBQ$
2. Die Geraden $AQ$ und $CP$ schneiden sich auf dem Umkreis des Dreiecks $\Delta ABC$.

 


 

Juli-August 2014

Ein $7\times 7$ Brett mit 4 herausgeschnittenen Eckfeldern ist gegeben.
a) Welches ist die minimale Anzahl Felder, die man blau färben muss, damit jedes Schweizer Kreuz (eine Figur aus 5 Feldern in Form eines Kreuzes) mindestens eins der bemalten Felder deckt?

b) Man zeige, dass in jedes Feld eine ganze Zahl geschrieben werden kann so, dass die Summe der Zahlen in jedem Schweizer Kreuz negativ ist und die Summe aller Zahlen auf dem Brett positiv ist.


Juni 2014

a) Man bestimme die Anzahl der Teilmengen der Menge $\{1, 2, \dots, 2n\}$, in denen die Gleichung $x+y=2n+1$ keine Lösung hat.

b) Ein regelmässiges $4n$-Eck $A_1A_2\dots A_{4n-1}A_{4n}$ mit $n>1$ und der Fläche $S$ ist gegeben.
Man bestimme die Fläche des Vierecks $A_1A_nA_{n+1}A_{n+2}$

 


 

Mai 2014

a) Vier Punkte liegen nicht in einer Ebene. Eine Ebene E heisst kommunistisch, wenn alle diese vier Punkte den gleichen Abstand zur Ebene E haben.
Wie viele  kommunistischen Ebene gibt es?

 

b) Die Zahlen von 1 bis und mit 24 stehen an der Tafel. Man kann die Zahlen $(a,b,c)$ durch die Zahlen
\[
\frac{2b+2c-a}{3}, \quad  \frac{2c+2a-b}{3}, \quad\frac{2a+2b-c}{3} \text{ ersetzen.}
\]
Kann irgendwann eine Zahl grösser als 70 an der Tafel erscheinen?